Solucion general y particular de una ecuacion diferencial: octubre 2015

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una funcion desconocida de una o mas variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.

Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:

ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada.

Ejemplo:

GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor orden de su derivada.

Ejemplos:

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da una igualdad, se llama una solución de la ecuación diferencial, por lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida que al ser sustituida en la ecuación diferencial se obtiene una igualdad.

FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es una expresión equivalente a la ecuación diferencial que carece de derivadas.

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

La expresión es una "función primitiva" de la ecuación diferencial.

Verificación

Observación: Al derivar la función primitiva se reproduce exactamente la ecuación diferencial.

PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.

Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

Ejemplo ilustrativo

Una curva tiene la propiedad de que su pendiente en cualquier punto (x,y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (2,5).

Solución: